SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)

Nama : Laksyeri Samudera Airlangga Hutahaean

Kelas : X MIPA 1

No. Absen : 15

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

A. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel yang sejenis. Jadi, sebelum mempelajari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) lebih jauh kita pelajari terlebih dahulu mengenai hal – hal yang berhubungan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah sebuah bentuk relasi sama dengan pada bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan keduanya berpangkat satu. Dikatakan Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik, maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).

B. Bagian-bagian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Variabel adalah suatu peubah/ pemisal/ pengganti dari suatu nilai atau bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf/simbol.

Contoh : Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Jika ditulis dengan memisalkan : a = kambing dan b = sapi

Maka : 5a + 3b, dengan a dan b adalah variabel

2. Koefisien adalah sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya jumlah variabel yang sejenis. Koefisien juga dapat dikatakan sebagai bilangan di depan variabel karena penulisan untuk sebuah suku yang memiliki variabel adalah koefisien didepan variabel.

Contoh : Andi memiliki 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Jika ditulis dengan memisalkan: a = kambing dan b = sapi

Maka : 5a + 3b, dengan 5 dan 3 adalah koefisien dengan 5 adalah koefisien a dan 3 adalah koefisien b.

3. Konstanta adalah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh variabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai peubah (variabel) berapapun.

Contoh : 4p + 3q – 10. – 10 adalah suatu konstanta karena berapapun nilai p dan q, nilai -10 tidak ikut terpengaruh sehingga tetap (konstan)

4. Suku adalah suatu bagian dari bentuk aljabar yang dapat terdiri dari variabel dan koefisien atau berbentuk konstanta yang tiap suku dipisahkan dengan tanda operasi penjumlahan.

Contoh : 5x- y + 7 , suku – sukunya adalah : 5x, -y, dan 7

 

C. Cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi ini untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya ialah dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Apabila variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Coba perhatikan bahwa apabila koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut. selanjutnya perhatikan contoh berikut ini:

Contoh: Dengan metode eliminasi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !

Penyelesaian :

2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Langkah pertama I (eliminasi variabel y) Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan yaitu: 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan dengan 3.

2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6

x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9

5x = 15

x = 15/5

x = 3

Langkah kedua II (eliminasi variabel x) Seperti langkah pertama I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan x – y = 3 dikalikan 2. 2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6

x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6

5y = 0

y = 0/5

y = 0

Maka, himpunan penyelesaiannya ialah {(3,0)}.

2. Metode Substitusi

Metode Substitusi adalah suatu metode untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita nyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh : Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut 2x +3y = 6 dan x – y = 3 !

Penyelesaiannya :

Persamaan x – y = 3 ialah ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 maka dapat diperoleh sebagai berikut :

2x + 3y = 6

2 (y + 3) + 3y = 6

2y + 6 + 3y = 6

5y + 6 = 6

5y + 6 – 6 = 0

5y = 0

y = 0

Kemudian untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:

x = y + 3

x = 0 + 3

x = 3

Maka, himpunan penyelesaiaanya ialah {(3,0)}

3. Metode Campuran

Suatu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode campuran, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh: Dengan metode gabungan diatas, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaiannya :

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, maka diperoleh :

2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2

x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12

-15 y = -10

y = (-10)/(-15)

y = 2/3

Selanjutnya, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh :

x + 5y = 6 x + 5 (2/3) = 6

x + 10/15 = 6

x = 6 – 10/15

x = 22/3

Maka, himpunan penyelesaiaanya ialah {(22/3, 2/3)}.

 

D. Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi : x + y = 8 2x + 3y = 19

Jawab :

x + y = 8…. (1)

2x + 3y = 19 … (2)

x + y = 8

x = 8- y

Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2 :

2 (8- y) + 3y = 19

16 - 2y + 3y = 19

16 + y = 19

y = 3

Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1 :

x + 3 = 8

x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut ialah x = 5 dan y = 3 atau HP = {(5, 3)}.

 

2. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi : 2x – y = 7 x + 2y = 1

Jawab :

Eliminasi x :

2x – y = 7 | x1 --> 2x – y = 7 ... (3)

x + 2y = 1 | x2 --> 2x – 4y = 2 ... (4)

2x – y = 7

x + 2y = 1 –

-5y = 5

y = -1

Eliminasi y :

2x – y = 7 | x2 --> 4x – 2y = 14 ... (5)

x + 2y = 1 | x1 --> x + 2y = 1 ... (6)

4x – 2y = 14 x

– 2y = 1 –

5x = 15

x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut ialah x = 3 dan y = -1 atau HP = {(3, -1)}.

 

3. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran: x + y = -5 x – 2y = 5

Jawab :

Eliminasi x :

x + y = -5

x – 2y = 5

– 3y = -9

y = -3

Substitusi y :

x + (-3) = -5

x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut ialah x = -2 dan y = -3 atau HP = {(-2, -3)}.

 

Daftar Pustaka

Arifin, A. (2020, Februari 10). Rumus Dan Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Retrieved Mei 11, 2020, from rumusbilangan: https://rumusbilangan.com/sistem-persamaan-linear-dua-variabel/

Herianto, H., & Hamid, N. (2020). Analisis Proses Berpikir Kreatif Dalam pemecahan Masalah Geometri Berdasarkan Gaya Kognitif Reflektif Dan Impulsif Siswa. Pedagogy: Jurnal Pendidikan Matematika, 5(2), 38-49.

Jusmiana, A. (2017). DESKRIPSI KESALAHAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA OPERASI BENTUK ALJABAR. Pedagogy: Jurnal Pendidikan Matematika, 2(2).

Jusmiana, A., Susilawati, S., & Basir, F. (2016). Deskripsi Trajektori Berpikir Siswa Dalam Menyelesaikan Masalah Literasi Matematika. Prosiding, 2(1).

sereliciouz. (2020, Januari). Retrieved Mei 11, 2020, from quipper: https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-linear-duavariabel-matematika-kelas-10/amp/

Siska, J. E. (2014, Juni 26). SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV). Retrieved Mei 11, 2020, from erikwcwcstkippgrisidoarjo: https://erikwcwcstkippgrisidoarjo.wordpress.com/2014/06/26/sistem-persamaanlinier-dua-variabel-spldv/

Widhiyantara, R. (2014, Maret 30). Sejarah Persamaan Linear. Retrieved Mei 11, 2020, from restuwidhiyantara: https://restuwidhiyantara.blogspot.com/2014/03/spldv.html?m=1

,

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan$$\left|x\right|=\{\begin{array}{c}-xjikax\ge 0\\ -xjikax<0\end{array}$$atau dapat pula ditulis
| x | = -x    jika x ≥ 0
| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.


Persamaan $\sqrt{x^2}=x$ hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka $\sqrt{x^2}=-x$. Dapat kita tulis$$\sqrt{x^2}=\{\begin{array}{c}-xjikax\ge 0\\ -xjikax<0\end{array}$$Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.$$|x|=\sqrt{x^2}$$Jika kedua ruas persamaan diatas kita kuadratkan akan diperoleh$$|x{|}^2=x^2$$Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.

Namun, pada artikel ini kita akan lebih fokus pada bentuk linier, baik dari kasus ataupun solusi, tanpa melibatkan bentuk kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a

Note :
Apabila kedua ruas memuat tanda mutlak, sifat a masih dapat digunakan, namun sifat b dan c sudah tidak dapat digunakan.


Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2
Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|

⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.


Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.


Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.


Contoh 5 (EDIT)
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :
|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a - b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,
|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x - 2) + (2x + 7)) ((3x - 2) - (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x - 9) ≥ 0

Pembuat nol :
x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}


Contoh 6
Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2  ⇔  x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2
|x - 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   ................(1)

Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4  ⇔  -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a.  |4x - 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x - 3|
     |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4
     |4x - 3| = -(4x - 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
     |2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
     |2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4


Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...

Jawab :
|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.


Contoh 9
Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x + 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x > -5
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5   

Untuk x < -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -(x + 1) > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x - 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -3x > -3
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1   

Jadi, HP = {x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}


Contoh 10
Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Jawab :
|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4
|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4

|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3

Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh

Untuk x < -3
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6
|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2

Untuk -3 ≤ x < 4
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4
|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan
$|x-4|+|2x+6|=\{\begin{array}{c}-3x-2jikax<-3\\ -x+10jika-3\le x<4\\ -3x+2jikax\ge 4\end{array}$


Contoh 11
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan
|x + 1| + |2x - 4| = 9

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

|2x - 4| = 2x - 4       jika  x ≥ 2
|2x - 4| = -(2x - 4)   jika  x < 2

Untuk x < -1
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -(x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x - 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -3x = 6
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -2
karena x < -1, maka x = -2 memenuhi.

Untuk -1 ≤ x < 2
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x = 4
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -4
karena -1 ≤ x < 2, maka x = -4 tidak memenuhi.

Untuk x ≥ 2 
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) + (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 + 2x - 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  3x = 12
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = 4
karena x ≥ 2, maka x = 4 memenuhi.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = -2  atau  x = 4.


Contoh 12
Tentukan HP dari |x - 1| + |x + 2| ≥ 4

Jawab :
|x - 1| = x - 1       jika  x ≥ 1
|x - 1| = -(x - 1)   jika  x < 1

|x + 2| = x + 2       jika  x ≥ -2
|x + 2| = -(x + 2)   jika  x < -2

Untuk x < -2 
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x - 1) - (x + 2) ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 - x - 2  ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -2x ≥ 5
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≤ -5/2
Irisan dari x < -2 dan x ≤ -5/2 adalah x ≤ -5/2

Untuk -2 ≤ x < 1
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x - 1) + (x + 2) ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 + x + 2 ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  3 ≥ 4  (bukan penyelesaian)

Untuk x ≥ 1 
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  (x - 1) + (x + 2) ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  2x ≥ 3
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≥ 3/2
Irisan dari x ≥ 1 dan x ≥ 3/2 adalah x ≥ 3/2

Jadi, HP = {x ≤ -5/2  atau  x ≥ 3/2}


Contoh 13
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan real dengan a > 0 berlaku | x | < a  ⇔  -a < x < a.

Jawab :
Untuk x ≥ 0 maka | x | = x, akibatnya
| x | < a  ⇔  x < a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
0 ≤ x < a

Jadi, untuk x ≥ 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  0 ≤ x < a   .................................(1)

Untuk x < 0 maka | x | = -x, akibatnya
| x | < a  ⇔  -x < a
| x | < a  ⇔  x > -a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
  -a < x < 0

Jadi, untuk x < 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  -a < x < 0   ................................(2)

Dari (1) dan (2) kita simpulkan
Untuk setiap x bilangan real dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  -a < x < 0  atau  0 ≤ x < a
| x | < a  ⇔  -a < x < a

Daftar Pustaka:

https://smatika.blogspot.com/2017/07/persamaan-dan-pertidaksamaan-nilai.html?m=1