SEGITIGA TRIGONOMETRI, LINGKARAN PERSEKUTUAN DALAM DAN LUAR

Laksyeri Samudera Airlangga H
X MIPA 1
14

Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

Materi lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga meliputi hubungan keliling dan luas segitiga dengan jari-jari lingkaran. Pada sebuah lingkaran yang terletak di dalam segitiga yang menyinggung tiga titik pada setiap sisi segitiga memiliki suatu hubungan. Hubungan antara lingkaran dalam segitiga tersebut adalah panjang jari-jari lingkaran dengan luas segitiga. Begitu juga sebaliknya, pada sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Hubungan antara lingkaran yang menyinggung setiap sisi segitiga dapat digunakan untuk mengetahui panjang jari-jari lingkaran.

Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga diberikan seperti persamaan di bawah.

Lingkaran Luar Segitiga

Bentuk berikutnya adalah sebuah lingkaran berjari-jari r yang terdapat di luar segitiga ABC. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat 3 titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. luar segitiga.

Sisi-sisi segitiga ABC memiliki panjang sisi sama dengan a, b, dan c. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Jari-jari lingkaran tersebut dapat dihitung menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar segitiga seperti persamaan di bawah.

LUAS SEGITIGA MENGGUNAKAN TRIGONOMETRI

Laksyeri Samudera Airlangga H
X MIPA 1
14

ebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

Perhatikan bahwa segitiga ABC pada Gambar 1 terbagi lagi menjadi dua segitiga yakni $\Delta ADC$ dan $\Delta BDC$. Pada $\Delta ADC$, kita peroleh

Dengan demikian,

Tentukan luas segitiga ABC pada Gambar 1 di atas jika diketahui sisi $BC=4$ cm, $AC=7\sqrt{3}$ cm dan $\angle C={60}^0$.

Pembahasan:

Diketahui $BC=a=4$ cm; $AC=b=7\sqrt{3}$ dan $\angle C={60}^0$. Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 2:

Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi $BC=4$ cm dan $AB=6\sqrt{3}$ cm, maka tentukanlah besar sudut B.

Pembahasan:

Diketahui luas segitiga = 18, $BC=a=4$; dan $AB=c=6\sqrt{3}$. Dengan demikian, kita peroleh

Jadi, luas $L\Delta ABC$ dapat dinyatakan sebagai

Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

Gambar 1. Segitiga ABC dengan sudut dan sisi-sisinya

Koordinat kutub dan koordinat kratesius

Laksyeri Samudera Airlangga H

X Mipa 1

14

Pengertian dan Manfaat Koordinat Cartesius

Koordinat cartesius merupakan suatu titik yang digambar pada sumbu X dan sumbu Y yang biasanya ditulis dengan P(x,y). Istilah cartesius sendiri ditemukan oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Rene Descartes. Hasil penemuannya inilah gabungan antara aljabar dan geometri yang kemudian berkembang menjadi ilmu geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Sistem koordinat cartesius juga bisa digunakan pada dimensi lebih tinggi, misalnya 3 dimensi yang menggunakan sumbu x, y, dan z. Jika pada 2 dimensi digunakan sumbu x dan y, maka sumbu z terletak saling tegak lurus dengan sumbu x dan y.

Manfaat dari koordinat cartesius sendiri banyak digunakan untuk kehidupan sehari-hari. Biasanya koordinat cartesius digunakan pada gambar denah atau peta, sehingga dapat memudahkan dalam mencari sebuah daerah. Selain itu koordinat cartesius juga digunakan dalam bidang penerbangan agar pesawat tidak saling bertabrakan dengan pesawat yang lain.

 

Pengertian dan Manfaat Koordinat Kutub

Koordinat kutub atau koordinat polar merupakan sistem koordinat 2 dimensi, dimana titik bidang ditentukan dari jarak titik yang sudah ditetapkan dan besar sudut ditentukan dari arah yang sudah ditetapkan.

Dari abad ke-8 M, penggunaan koordinat kutub ini dikembangkan untuk menghitung arah dan jarak kiblat dari seluruh penjuru bumi.

 

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Koordinat cartesius dan koordinat kutub serta cara konversi bisa dilakukan dengan menggunakan rumus. Sebelum Anda mengetahui rumus konversi koordinat cartesius ke dalam koordinat kutub ataupun sebaliknya, ada baiknya Anda mengetahui hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub dengan melihat gambar berikut.

Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa koordinat cartesius ditujukan titik P (x,y) dan koordinat kutub P(r,ϑ) dan bisa ditentukan dengan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(x,y), maka koordinat kutub bisa ditentukan dengan rumus:

Sedangkan untuk mengkonversi koordinat kutub ke dalam koordinat cartesius digunakan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(r,ϑ), maka koordinat kutubnya dapat dinyatakan dengan rumus:

 Daftar Pusaka :

https://mahirmatematika.com/koordinat-cartesius-dan-koordinat-kutub-serta-cara-konversi-dengan-mudah/

Identitas Trigonometri

Laksyeri Samudera Airlangga H

X Mipa 1

14

Identitas Trigonometri

 

 

 

Identitas Trigonometri

 

Identitas trigonometri menyatakan hubungan dari suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya. Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara.

Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu di ketahui, diantaranya:

 

 

 

Rumus Trigonometri

Selain identitas trigonometri, kita juga perlu tahu rumus-rumus trigonometri yang lainnya, yaitu:

 

 

 

Sudut Berelasi Kuadran, I, II, III, IV

Laksyeri Samudera Airlangga H

X Mipa 1

14

Sudut Berelasi di Kuadran I

Untuk α = sudut lancip, maka (90° − α) merupakan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α

cos (90° − α) = sin α

tan (90° − α) = cot α

Sudut Berelasi di Kuadran II

Untuk α = sudut lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) merupakan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α

cos (90° + α) = -sin α

tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α

cos (180° − α) = -cos α

tan (180° − α) = -tan α

Sudut Berelasi Kuadran III

Untuk α = sudut lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) merupakan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α

cos (180° + α) = -cos α

tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α

cos (270° − α) = -sin α

tan (270° − α) = cot α

Sudut Berelasi Kuadran IV

Untuk α = sudut lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) merupakan sudut kuadran IV. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α

cos (270° + α) = sin α

tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α

cos (360° − α) = cos α

tan (360° − α) = -tan α

Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipakai dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α) atau (270° ± α), maka :

sin → cos

cos → sin

tan → cot

Sedangkan untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :

sin = sin

cos = cos

tan = tan

Tabel Sudut Berelasi

Berikut adalah table sudut berelasi sin, cos, tan, cosec, sec, dan cotan di kuadran I, II, III, dan IV.

Tanda masing-masing kuadran

Kuadran I (0 − 90°) = semua positif

Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif, lainnya negatif

Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif, lainnya negatif

Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif, lainnya negatif

Sudut Berelasi

Laksyeri Samudera Airlangga H

X Mipa 1

14

Sudut Berelasi – Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°).

 

Rumus Sudut Berelasi

Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif.

 

Sudut Relasi Kuadran I

Untuk α lancip, maka (90° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α°) = cos α°	cosec (90° − α°) = sec α°
cos (90° − α°) = sin α°	sec (90° − α°) = cosec α°
tan (90° − α°) = cot α°	cot (90° − α°) = tan α°

 

Sudut Relasi Kuadran II

Untuk α lancip, maka (90° + α°) dan (180° − α°) menghasilkan sudut-sudut kuadran II dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α°) = cos α°	cosec (90° + α°) = sec α
cos (90° + α°) = -sin α°	sec (90° + α°) = -cosec α°
tan (90° + α°) = -cot α°	cot (90° + α°) = -tan α°

 

sin (180° − α°) = sin α°	cosec (180° − α°) = cosec α°
cos (180° − α°) = -cos α°	sec (180° − α°) = -sec α°
tan (180° − α°) = -tan α°	cot (180° − α°) = -cot α°

 

Sudut Relasi Kuadran III

Untuk α lancip, maka (180° + α°) dan (270° − α°) menghasilkan sudut kuadran III. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α°) = -sin α°	cosec (180° + α°) = -cosec α°
cos (180° + α°) = -cos α°	sec (180° + α°) = -sec α°
tan (180° + α°) = tan α° Sudut Relasi Kuadran IV Untuk α lancip, maka (270° + α°), (360° − α°) dan (360° + α°) menghasilkan sudut kuadran IV. D i dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut : sin (270° + α°) = -cos α° cosec (270° + α°) = -sec α° cos (270° + α°) = sin α° sec (270° + α°) = cosec α° tan (270° + α°) = -cot α° cot (270° + α°) = -tan α°   sin (n.360° − α°) = -sin α° cosec (n.360° − α°) = -cosec α° cos (n.360° − α°) = cos α° sec (n.360° − α°) = sec α° tan (n.360° − α°) = -tan α° cot (n.360° − α°) = -cot α°   sin (n.360° + α°) = sin α° cosec (n.360° + α°) = cosec α° cos (n.360° + α°) = cos α° sec (n.360° + α°) = sec α° tan (n.360° + α°) = tan α° cot (n.360° + α°) = cot α°   Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.   Untuk relasi (90° ± α°) atau (270° ± α°), maka : sin → cos cos → sin tan → cot   Untuk relasi (180° ± α°) atau (360° ± α°), maka : sin = sin cos = cos tan = tan   Tanda masing-masing kuadran : Kuadran I (0° − 90°) = semua positif Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif. Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif	cot (180° + α°) = cot α°