SPLKDV

Laksyeri Samudera Aitlangga Hutahaean
X MIPA 1
(15)

Cara Penyelesaian SPLKDV

Berikut adalah tahapan atau langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan SPLKDV, diantaranya ialah sebagai berikut:

1. Subtitusikan y = ax+b menjadi y = px2 + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
3. Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
4. Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu:

1. Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
2. Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
3. Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.

Metode Substitusi

Berikut ini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel:

x – y = -4 ……………. Persamaan 1

x2 – y = -2 ……………. Persamaan 2

Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut.

Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.

Sebagai contoh, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, maka akan kita substitusi –1 ke x serta 3 ke y dalam masing-masing persamaan.

Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 serta Persamaan 2:

x – y = -4 → Tulis persamaan 1.

-1 – 3 = -4 → Substitusi  -1 ke x dan 3 ke y.

-4 = -4 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 1.

x2 – y = -2 → Tulis persamaan 2.

(-1)2 – 3 = -2 → Substitusi  -1 ke x dan 3 ke y.

1 – 3 = -2 → Sederhanakan.

-2 = -2 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 2.

Di sini akan kita pelajari dua macam cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear serta kuadrat dua variabel. Kita mulai dengan menggunakan metode substitusi.

Metode Substitusi

1. Selesaikan satu persamaan, sehingga akan ada satu variabel pada persamaan tersebut yang dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusi bentuk yang diperoleh dalam tahap pertama ke dalam persamaan lainnya untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel.
3. Selesaikan persamaan yang didapatkan pada tahap ke dua.
4. Substitusi balik nilai yang kita dapatkan di tahap tiga ke dalam persamaan yang didapatkan di tahap pertama guna menemukan nilai variabel lainnya.
5. Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini yaitu:

A. {(2,-1),(3,0)}
B. {(1,2),(3,0)}
C. {(-1,0),(2,3)}
D. {(2,3),(0,-1)}
E. {(0,3),(-1,2)}

Jawab:

Substitusikan y = x – 3 ke y = x2 – 4x + 3, sehingga akan kita dapatkan:

x – 3 = x2 – 4x + 3
<=> -x2 + 5x – 6 = 0
<=> x2 – 5x + 6 = 0
<=> (x – 3)(x – 2) = 0
<=> x1 = 3 atau x2 = 2

Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 – 3 = 0

Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 3 = -1

Sehingga, himpunan penyelesaiannya yaitu {(2,-1),(3,0)}

Maka jawaban yang paling tepat adalah: A

2. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x serta y pada umumnya dinyatakan seperti berikut ini:

y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r

Keterangan:

Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.

Cara Penyelesaian SPK

1. Substitusikan persamaan yang satu ke dalam persamaan yang lainnya sehingga akan membentuk persamaan kuadrat.
2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga akan kita dapatkan himpunan penyelesaiannya, yaitu: {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat mempunyai 6 kemungkinan, diantaranya yaitu:

1. Apabila D > 0, maka  kedua parabola akan berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
2. Apabila D = 0, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
3. Apabila D < 0, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }
4. Apabila a = p, b ≠ q, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
5. Apabila a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }
6. Apabila a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota dari himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini adalah:

A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}

Jawab:

Substitusikan persamaan dari y = x2 -2x – 3 ke dalam persamaan y = -x2 -2x + 5, sehingga:

x2 -2x – 3 = -x2 -2x + 5
<=> 2x2 -8 = 0
<=> x2 – 4 = 0
<=> (x – 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2

Untuk x = 2
y = x2 – 2x – 3
y = (2)2 -2 (2) – 3
y = 4 – 4 – 3
y = -3

Untuk x = -2
y = x2 – 2x – 3
y = (-2)2 -2 (-2) – 3
y = 4 + 4 – 3
y = 5

Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya dari soal di atas adalah {(-2,5),(2,-3)}

Sehingga jawaban yang paling tepat adalah: C.

daftar pustaka:
https://www.yuksinau.id/sistem-persamaan-linier-kuadrat-dua-variabel/

SPTV DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI

Nama: Laksyeri Samudera Airlangga H
Kelas: X MIPA 1
Absen: 15

                                        SPLTV CERITA   

CONTOH 1              

Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.

Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.

Ali harus membayar Rp4.700.

Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Badar harus membayar Rp4.300

Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Carli harus membayar Rp7.100

Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?

Penyelesaian:

■ Misalkan bahwa:

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,

Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan

Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.

■ Dengan demikian, model matematika yang sesuai dnegan data persoalan di atas adalah sebagai berikut.

2x + y + z = 4.700

x + 2y + z = 4.300

3x + 2y + z = 7.100

yaitu merupakan SPLTV dnegan variabel x, y, dan z.

■ Penyelesaian SPLTV itu dapat ditentukan dengan metode subtitusi, metode eliminasi atau gabungan keduanya.

Eliminasi variabel z:

2x + y + z	=	4.700			x + 2y + z	=	4.300
x + 2y + z	=	4.300	−		3x + 2y + z	=	7.00	−
x – y	=	400			−2x	=	−2.800
y	=	2.500			x	=	1.400

■ Subtitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, sehingga diperoleh:

⇒ x – y = 400

⇒ 1.400 – y = 400

⇒ y = 1.400 – 400

⇒ y = 1.000

■ Subtitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, sehingga diperoleh:

⇒ 2x + y + z = 4.700

⇒ 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

⇒ 2.800 + 1.000 + z = 4.700

⇒ 3.800 + z = 4.700

⇒ z = 4.700 – 3.800

⇒ z = 900

Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp1.400, harga untuk sebuah pensil adalah Rp1.000, dan harga untuk sebuah penghapus adalah Rp900.

CONTOH 2

Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2

x + 3y + 2z	=	33.000	|× 2|	→	2x + 6y + 4z	=	66.000
2x + y + z	=	23.500	|× 1|	→	2x + y + z	=	23.500	−
					5y + 3z	=	42.500

● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3

x + 3y + 2z	=	33.000
x + 2y + 3z	=	36.500	−
y – z	=	−3.500
y	=	z – 3.500

Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒ 5y + 3z = 42.500

⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500

⇒ 8z – 17.500 = 42.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 60.000

⇒ z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ y = z – 3.500

⇒ y = 7.500 – 3.500

⇒ y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 3y + 2z = 33.000

⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒ x + 27.000 = 33.000

⇒ x = 33.000 – 27.000

⇒ x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

Daftar Pustaka:
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/soal-cerita-SPLTV.html